高三数学复数知识点
高三数学复数知识点1
1.复数及其相关概念：
(1)虚数单位i，它的平方等于-1，即i2=-1。
(2)复数的代数形式：z=a+bi，(其中a，bR)
①实数当b=0时的复数a+bi，即a;
②虚数当b0时的复数a+
③纯虚数当a=0且b0时的复数a+bi，即bi。
④复数a+bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)
⑤复数集C全体复数的集合，一般用字母C表示。
⑥特别注意：a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
2.复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
(1)加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
(2)减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
(3)乘法：z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2
(4)除法
(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。
注意：复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=-1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a-bi)=a2+b2
3.共轭复数：两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数
4.复数的模
根据两个复数相等的定义，设a，b，c，dR，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+dia=c且b=d，特别地a+bi=0a=b=0。
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
高三数学复数知识点2
复数的概念：
形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：
(1)复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：
复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=
虚数单位i：
(1)它的平方等于-1，即i2=-1;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di
a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0
a=0，b=0。
复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
复数相等特别提醒：
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
解复数相等问题的方法步骤：
(1)把给的复数化成复数的标准形式;
(2)根据复数相等的充要条件解之。
学好初中数学的方法
1、重视课本的内容
书本知识是初中生学习数学最根本的一部分了，初中生一定要重视书本上的知识点，不管是概念还是公式以及书本上的练习题，初中生一定要熟练掌握。初中生要想更熟练的掌握书本的知识点，可以将数学课本的每一章节，从头到尾的仔细阅读，这样可以增加自己对容易忽略的知识点的了解。有很多学生常常会忽略课本的习题，虽然课本的习题很简单，但是考察的知识点却特别有针对性，所以一定要引起学生的重视。
2、通过联系对比进行辨析
在数学知识中有不少是由同一基本概念和方法引申出来的种属及其他相关知识，或看来相同，实质不同的知识，学习这类知识的主要方法，是用找联系、抓对比进行辨析。如直线、射线、线段这些概念，它们既有联系又有区别。
3、多做练习题
要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。
4、课后总结和反思
在进行单元小结或学期总结时，要做到以下几点：一看：看书、看笔记、看习题，通过看，回忆、熟悉所学内容;二列：列出相关的知识点，标出重点、难点，列出各知识点之间的关系，这相当于写出总结要点;三做：在此基础上有目的、有重点、有选择地解一些各种档次、类型的习题，通过解题再反馈，发现问题、解决问题。
数学加法心算技巧
1、分裂再凑整数加法;
比如;8+5=13，先把“5”分裂成“2”和“3”;那么就是8+2+3=10;
2、比如;77+8=85，先把“8”分裂成“3”和“5”;那么就是77+3+5=85;
3、变整数再减去
比如，26+18=44，把“18”变成“20-2”，那么就是26+20-2=44;
4、比如;387+983=1370，把“983”变成“1000-17”，那么就是387+1000-17=1370;
5、错位数相加
比如，个位加十位得数是个位的;
51+15=66;这样算：5+1得6;1+5得6;两6合拼
72+27=99;这样算：7+2得9;2+7得9;两9合拼
63+36=99;这样算：6+3得9;3+6得9;两9合拼
52+25=77;这样算：5+2得7;2+5得7;两7合拼
6、比如，个位加十位得数是十位的;
78+87=165;这样算：7+8=15，再把“15”两个数字“1”和“5”相加得6，把这个“6”放在“15”的中间，得出“165”;
67+76=143，这样算：6+7=13，再把“13”两个数字“1”和“3”相加得4，把这个“4”放在“13”的中间，得出“143”;
高三数学复数知识点3
定义
数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a 实数b称为复数z的`虚部(imaginary part)记作 Imz=b。已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数 当a=0且b0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。
运算法则
加法法则
复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。
即 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
乘法法则
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = 1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
除法法则
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x，yR)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，
即 (a+bi)/(c+di)
=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]
=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2)。
开方法则
若z^n=r(cos+isin)，则
z=nr[cos(2k)/n+isin(2k)/n](k=0，1，2，3n-1)
高三数学复数知识点5
1、知识网络图
2、复数中的难点
（1）复数的向量表示法的运算。对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难。对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明。
（2）复数三角形式的乘方和开方。有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练。
（3）复数的辐角主值的求法。
（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题。复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会。
3、复数中的重点
（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点。
（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角。复数有代数，向量和三角三种表示法。特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容。
（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质。复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容。
（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法。
复数知识点总结
复数知识点总结：
一、实数、虚数与复数虚部的关系
复数包含实数和虚数，我们把实数和虚数统称为复数。
1、实数和复数虚部的关系
实数是虚部为0的复数。即，若复数“z=a+bi，a∈R,b∈R”的虚部b=0，则z=a∈R，此时复数z是实数。
2、虚数和复数虚部的关系
虚数是虚部不为0的复数。即，若复数“z=a+bi，a∈R,b∈R”的虚部b≠0，则z=a+bi是复数中的虚数。
二、共轭复数的实部、虚部关系
设复数z=a+bi，a∈R,b∈R，则把“a-bi，a∈R,b∈R”和复数z（注：“z=a+bi，a∈R,b∈R”）互称为共轭复数（注：虚部b≠0时，又互称为共轭虚数）。由此可知：
1、两个共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。
2、因为实数是虚部为0的复数，所以实数与其共轭相等。即实数的共轭是其本身。
3、两个共轭复数的和为一个实数。如：（a+bi)+(a-bi)=2a∈R。（注：其中a∈R,b∈R）
4、两个共轭虚数的差是一个纯虚数。如：（a+bi)-(a-bi)=2bi。（注：其中a∈R,b∈R，b≠0）
【注】纯虚数是实部为0并且虚部不为0的复数（或“纯虚数是实部为0的虚数”）。
5、复数的“模”等于实部与虚部平方和的算术平方根，所以，两个共轭复数的模相等。
三、两相等复数的实部、虚部关系
两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别对应相等。即：若a、b、c、d∈R，则复数a+bi=c+di的充要条件是“a=c且b=d”。
高三数学复数知识点整理
复数是高考选择题必考的知识点之一，想要高考得高分，选择题就一分也不能丢，我为各位学子整理了《 高三数学 复数知识点整理》感谢阅读！
【一】
两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di
a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0
a=0，b=0.
复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
复数相等特别提醒：
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
解复数相等问题的 方法 步骤：
(1)把给的复数化成复数的标准形式;
(2)根据复数相等的充要条件解之。
【二】
复数的概念：
形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：
(1)复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：
复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=
虚数单位i：
(1)它的平方等于-1，即i2=-1;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
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复数的知识点
复数z的一般形式是z=a+bi，a∈R,b∈R。其中，a称为复数z的实部，b称为复数z的虚部。
（1）虚部就是“z=a+bi，a∈R,b∈R”中虚数单位“i”的系数。（2）易错点：虚部是“b”，不是“bi”，很多同学容易把虚部错记成“bi”。
一、实数、虚数与复数虚部的关系
复数包含实数和虚数，我们把实数和虚数统称为复数。
1、实数和复数虚部的关系
实数是虚部为0的复数。即，若复数“z=a+bi，a∈R,b∈R”的虚部b=0，则z=a∈R，此时复数z是实数。
2、虚数和复数虚部的关系
虚数是虚部不为0的复数。即，若复数“z=a+bi，a∈R,b∈R”的虚部b≠0，则z=a+bi是复数中的虚数。
二、共轭复数的实部、虚部关系
设复数z=a+bi，a∈R,b∈R，则把“a-bi，a∈R,b∈R”和复数z（注：“z=a+bi，a∈R,b∈R”）互称为共轭复数（注：虚部b≠0时，又互称为共轭虚数）。由此可知：
1、两个共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。
2、因为实数是虚部为0的复数，所以实数与其共轭相等。即实数的共轭是其本身。
3、两个共轭复数的和为一个实数。如：(a+bi)+(a-bi)=2a∈R。（注：其中a∈R,b∈R）
复数知识点
复数知识点如下：
1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.
⑵复数及其相关概念：复数—形如a + bi的数（其中a，b∈R）；实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；虚数—当b≠0时的复数a + bi；纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + bi，即bi.复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）.复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+di=a=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0=a=b=0.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂0，则z₁-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数] 2°若z₁z₂，则z₁-z₂0.（√）若a,b,c∈C，则(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0是a=b=c的必要不充分条件.（当(a-b)²=i²，(b-c)²=1,(c-a)²=0时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z₁-z₂|.其中z₁,z₂是复平面内的两点z₁和z₂所对应的复数，d表示z₁和z₂间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：|z-z0|=r(r0).
⑵曲线方程的复数形式：①|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②|z-z₁|=|z-z₂|表示线段z₁z₂的垂直平分线的方程.③|z-z₁|+|z-z₂|=2a(a0且2a|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.
④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(02a|z₁z₂|,表示以Z₁,Z₂为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：设z₁,z₂是不等于零的复数，则||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,λ0).||z₁|-|z₂||≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ0).
3. 共轭复数的性质：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
4.复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N﹢),对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N﹢注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由就会得到-1=1的错误结论.在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
5.复数z是实数及纯虚数的充要条件：z∈R=z=z¯.②若z≠0，z是纯虚数=z+z¯=0.模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z|=|z¯|.
6.复数的三角形式：z=r(cosθ+isinθ).辐角主值：θ适合于0≤θ＜2π的值，记作argz.注：z为零时，argz可取[0,2π]内任意值.辐角是多值的，都相差2π的整数倍.设a∈R﹢则arga=0,arg(-a)=π,argai=π/2,arg(-ai)=3/2π.
复数的代数形式与三角形式的互化：a+bi=r(cosθ+isinθ)，r=√(²+b²)，cosθ=a/r,sinθ=b/r.几类三角式的标准形式：r(cosθ-isinθ)=r[cos(-θ)+isin(-θ)]-r(cosθ+isinθ)=r[cos(π+θ)+isin(π+θ)]r(-cosθ+isinθ)=r[cos(π-θ)+isin(π-θ)]r(sinθ+icosθ)=r[cos(π/2-θ)+isin(π/2-θ)]
7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)时，应注意下述问题：
①当a,b,c∈R时，若△＞0，则有二不等实数根x₁,₂=(-b±√△)/2a；若△=0，则有二相等实数根x₁,₂=-b/2a；若△＜0，则有二相等复数根x₁,₂=(-b±√|△|i)/2a（x₁,₂为共轭复数）.
②当a,b,c不全为实数时，不能用△方程根的情况.不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：r₁(cosθ₁ +isinθ₂)·r₂(cosθ₂+isinθ₂)=r₁r₂[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)]
[r₁(cosθ₁+isinθ₂)]/[r₂(cosθ₂+isinθ₂)]=r₁/r₂[cos(θ₁-θ₂)+isin(θ₁-θ₂)]
棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]ⁿ=rⁿ(cosnθ+isinnθ)
