如何培养小学生数学思维的广度和深度
在新课标一直强调素质教育的前提下，小学数学教学中应该更重视提高学生的思维深度与广度，它是培养学生创造性思维的前提。所谓思维的深度，是指突破表面的现象，深入透视本质的思维方式，主要体现在善于深入思考问题；所谓思维的广度，这是一种高含量的思维方式，主要体现在善于根据整个问题，从多角度、全方位对这个问题进行思考，也就是说在解决问题时，注重分析事物本质的同时，还充分考虑到了具体的细节，思维围绕着整个问题，向更深、更广的角度展开。
一、思维深度与广度的概述
（一）思维深度与广度的含义
人们的思维就是在生活中，遇到困难或问题，会用大脑进行思考。思维的过程是经过分析、对照、模拟、综合、总结等方式，也就是说通过自己的认知和理解对困难提出解决方式的过程。思维能力的培养是小学数学教学的重要任务之一，学生在学习、游戏和生活中都离不开思维活动，思维能力是学生理解事物的基础。
笔者在查阅相关文献后，对思维深度与广度有了初步理解。认为思维的广度是一种高含量的思维方式，主要体现在善于根据整个问题，从多角度、全方位对这个问题进行思考，也就是说在解决问题时，注重分析事物本质的同时，还充分考虑到了具体的细节。假设将一个数学问题放置在立体空间中，针对这个问题进行全角度、全方位的分析，对此有人称之为“立体思维”。比如说，475÷25这道数学简便计算题，它的解法可以是（500-25）÷25=500÷25-25÷25，也可以是（400+75）÷25=400÷25+75÷25，虽然说一道数学题的答案是唯一的，但它的解法却非唯一。这就是思维的广度。而思维的深度是指学生在思考问题时，抛开表面现象，抓住问题核心，也就是从问题的本质部分进行由远到近、由表及里、层层递进、步步深入的思考。
（二）思维深度与广度在数学教学中的重要性
人从生下来的那一刻开始就必定存在差异，再加上后天家庭教育、环境等外界因素的影响，小学生思维的深度、广度也存在差异。正是因为这个差异的存在，我们更应该重视在小学数学教学中培养小学生思维的深度与广度。此外，更关键的是，教师在教学过程中，不但要重视向学生传授知识，还要重视从多方面提高学生的素质，特别是数学思维渗透在知识中的能力。如果教师在教学过程中忽略了对学生思维深度与广度的拓展，学生将无法更好地消化教师传授的知识，会养成只“听”的坏习惯。
古人云：“学而不思则罔，思而不学则殆。”这句话很好地诠释了思与学之间微妙的关系。教师在教学过程中，要理清思与学之间的关系，注重活跃学生的思维，这样才能让学生更好地学习知识。对此，学生在理解问题、分析问题方面提出了更高的要求。
二、对教学过程中提高学生思维深度与广度的建议
（一）注重多样化的解法
上文中提到，一道数学题有多种解法。在学生解决、思考的过程中，教师要支持学生独立思考，通过自己的方式与理解解决问题，并支持学生之间交流自己的想法。在这样的教学过程中，学生经过独立思考对问题做出解答，提高了自主学习能力及探究能力，思维得到深化。在相互交流想法的同时，学生对同一问题的各种解法进行比较、探讨、研究，将新的解题方式融入自己的思维中，有效培养了学生全方位思考问题的能力，拓展了学生思维的深度与广度。
（二）注重提问的多变性
所谓提问的多变性是指在教学过程中变化问题的条件。在学生思考一道数学题的过程中，问题的条件发生了变化，学生思维的方向、角度、方式也会随之发生变化，从多方面看待这个问题，以新的方式寻找问题的正确答案。比如“已知一个多边形的每个内角都等于135°，请问，这个多边形的度数是多少？”这道数学题，我们可以将它转变为“已知一个多边形的内角和等于1080°，请问，这个多边形的度数是多少？”，也可以将它转变为“已知一个多边形的边数为8，请问没这个多边形的内角和是多少？”。在这同一个问题上，让学生从多个方面分析问题，通过不同的途径解决问题，突破思维定势，大大提高学生思维的广度。
（三）注重培养学生提问的习惯
数学这门学科对学生的逻辑性提出了很高的要求，需要学生不断思考问题，善于质疑，只有这样才能够掌握其中的规律。虽然传统教学理念中一直着重于教师的“说”，但让学生大胆提出见解也是非常受青睐的。古人云：“若向八贤常请教，虽是笨人不会错。”在这段话中可见古人在学习过程中非常重视提问。李政道先生曾经在多次演讲当中着重提出，教学的过程要偏重于“学问”，而并非“学答”。除了死记硬背外，掌握好数学的基本概念、定理及公式也是非常有必要的。要理解数学的基本概念、定理及公式的内涵与外延，同时还要了解引入的必要性及与其他知识的联系等。培养学生善于提问的习惯，学生的思维才会渗透过知识表面、肤浅的层面，深入理解知识的内在本质，提高学生的思维深度。
（四）注重结合相关知识点
数学知识之间是存在一定相关性的，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分之间的横向联系，善于寻找它们之间的联系，有利于学生从系统的高度思考问题，把握问题的实质。比如说教师在讲授圆与圆位置关系的时候，比较曾经学过的知识点，点与圆的关系及直线与圆的关系，这样有助于学生找到圆与圆的位置关系。这样结合所学过的相关知识点，有助于学生接受新的知识点，渗透理解新知识点的内在本质。最主要的是，在对知识进行分类、梳理、综合、寻找规律的过程中拓展了思维的深度。数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心，有关研究发现数学的思维品质以深刻性和广阔性为基础，所以要想提高学生的思维深度，教师在优化教学过程中必须利用数学知识这一载体，创造机会提高学生的思维能力，打开学生的智慧之门。
（五）培养学生先猜后证的思维方法
猜想在发现过程中具有重要地位，教师应以此为基础，拓展学生的思维深度与广度。在这个过程中，教师要给学生尽情提供猜想的空间与机会，让学生明白合理的猜想一定要基于能够审慎地运用归纳和类推的方法，直到完成“论证推理”。在教学过程中，不论是学习新知识还是复习旧知识，都要具体内容具体分析。针对每节不同的知识点，教师应当提出相关问题让学生自主思考，还应间接引导和帮助学生对每节不同知识进行回忆，并且进行深入分析、理解、推论，以便得出最后正确的结论。最后，也是最重要的是，我们一定要对每章的整体内容进行总结。
数学教学与思维深度与广度密切相关，数学能力具有和一般能力不同的特性，因此发展数学思维能力是数学教学的重要任务，我们在发展学生数学思维能力的过程中，不仅要考虑到能力的一般要求，而且要深入研究数学科学、数学活动和数学思维的特点，寻求数学活动的规律，拓展学生的数学思维深度与广度。小学数学教学的目的，不仅在于传授知识，让学生学习、理解、掌握数学知识，更要注重教给学生学习方法，培养学生的思维能力和良好的思维品质，这是全面提高学生素质的需要。
思考问题不想流于表面？这样提升认知思维，你才能掌握深度思考
思考一下，通常你遇到工作或生活上的问题时，你会有什么样的表现？
觉得自己很倒霉，抱怨问题怎么就发生在自己身上？还是主动出击，运用自己的思考能力，针对性击破难题，摆脱困扰呢？
我们人类的大脑，会在长期的生活当中，不知不觉地塑造出一种适合自己的思考模式。对于大多数人来说，这种思考模式可以帮助我们轻易和快速地解决身边的小问题，这就是“直觉式思考”。
例如手机无法开机，我们立刻就会懂得从电池和系统出故障这方面去思考，然后通过排查、试验，很快就把问题解决到。
因为解决这些问题，我们有相关的认知经验，这样运用固定的直觉思维模式，我们就很容易把问题解决掉。
然而，一旦问题超出我们的认知范围，而我们又继续运用自己这种固定的思考模式去思考问题时，我们可能就会变得束手无策，从而陷入一种“思考流于表面”的困境里，怎么思考都很难有效解决问题了。
这时，我们就需要转换思维模式，运用深度思维来进行思考了。
怎么去定义“深度思考”呢？先来看一个故事。
一天，动物园的管理员发现袋鼠从笼子里面跑了出来。
大家开会商讨之后一致认为，是因为关袋鼠的笼子太低而导致的。所以他们决定，把笼子的高度由10米增高至20米。
结果第二天，袋鼠依然跑到了外面去，见此，管理员就又把笼子加高了10米。但是，问题依然没有得到解决，紧接下来第三天，袋鼠还是跑了出来。
有一日，长颈鹿与袋鼠聊起了这件事：“你说，那些人会不会继续加高你们的笼子呢？”
袋鼠说：“很难说，如果他们不再继续关门的话。”
这个故事很好地揭示了，什么是“流于表面的思考”：问题出现之后，很多人只意识到问题正在发生，却从不知道如何去“把握问题的核心”。
从上述的例子就可以知道，“没有关门”才是导致袋鼠跑出来的“核心问题”，而管理员把笼子加高这一举措，则是绕在问题核心外面的补救措施。
在日常生活当中，我们很多人都会习惯性地用固定的思维模式，去解决那些不常遇到或者没有那么多经验的问题。而从不停下来思考，问题的核心究竟是什么。
想要对“问题的核心”获得认知上的了解，我们就必须构建出一套有效的思考模式，这是深度思考的根本。
这套思考模式的步骤有三个：
第一步，找出问题所在；
第二步，分析问题根本；
第三步，解决问题方案。
换言之，当我们面对问题时，我们首先要做的，就是思考并找到问题的核心所在，然后懂动用各种资源对问题进行分析，最终找到解决问题的方案。
在这三个步骤当中，分析问题和解决问题固然重要，但如果我们无法找到问题的核心所在，自然就完成不了后面两个步骤。
那怎么才能够找到问题所在呢？
在解决问题时，我们通常都会用到“假设”这个思考方法。
“假设”可以帮助我们摆脱被问题的表象影响到，从而更好地深挖问题。当问题的范围一再通过假设而被缩小，我们就能够有效地对问题进行界定，找到关键的核心之处。
例如我们想要解决“找一份好工作”这个目标，我们要怎么做呢？
很明显，“好工作”是一个非常笼统的描述，如果不对这个概念做进一步的定义，我们就很难解决到这个问题，只会继续运用惯性思维，认为“只要是工资高的都是好工作”。
问题是，每个月两万元的工资，让你每天搬砖十二个小时，你愿意去做吗？
当然，不同的人，对于“好工作”的定义不同，你就需要按照自己的价值观，针对性对这个问题进行清晰的界定，从而让自己找工作时更加顺利。
这时，你就可以运用“假设”，去深挖问题了。你可以进行如下的假设：
这份工作的工资，能不能保障到我的基本生活呢？
所处的行业，是否具有一定的发展前景，我能从工作中获利？
我能不能从这份工作中获得更多学习和成长的机会？
公司的制度和人员架构是否靠谱，不会因为繁琐的人际关系而烦恼？
如果你认为这些条件对于自己来说，都是比较重要的，那么这些因素就是解决问题的关键核心。只要你把握好这些问题的核心，那你找到“好工作”的几率就会大大增高。
当你针对“好工作”提出这些假设问题后，你是不是开始有意识地缩小找工作的范围呢？从而对于找什么工作，而有更加清晰的认知？
“假设”的功用，还不止于此。
由于思维惯性使然，大多数人在看问题时，其注意力往往只会放在问题的表象上，看不见核心的问题。
正因为我们看到的很多问题，往往只是一个表象，属于冰山一角。通过假设，我们就能够推断出隐藏在表象背后的其他更为重要的信息。
这里运用假设会有一个流程，就是：
1，假设——验证——排除；
2，假设——验证——排除；
3，假设——验证——确定。
举一个简单的例子。
例如下图中的小谜题，你要通过上下左右的方式移动停车场里的货车，从而让红色的小车离开停车场呢？
如果运用直觉思维，我们随意摸索尝试就行了，但如果有步数的限制，让你在十步之内移走红色小车，这时你就需要运用假设来进行思考，让每一步的操作，就真正发挥作用。
好比假设移动右方的货车，能不能腾出通道给红色小车走？然后基于这个假设，你去尝试进行验证。
验证之后，你发现问题还没有解决到，你就继续第二轮的假设。继续移动上方的货车，又会不会腾出空间给小车走呢？
如果问题是朝着正确的方向前景着，说明你的假设正在起作用，反之，你就需要重新调整你的假设了。
通过这种反复的假设和验证，你就会慢慢缩小问题的范围，最终把这个问题解决掉。
现在我们已经把握到问题的核心了，那怎么分析问题，构思出解决方案呢？
前面说了，认知局限，是阻碍我们解决问题的一大因素。当我们对于某些问题，没有相关的认知经验，我们自然就很难去分析问题。
构建我们的认知思维的，通常有两种智力模式：
第一，流体智力（Fluid Intelligence）；
第二，晶体智力（Crystallized Intelligence）。
简单来说，流体智力是我们与生俱来运用机体的能力，即个体禀赋，这些禀赋会随着神经系统的成熟而提高。如有些人认路很厉害，有些人缺乏空间感等，都是属于流体智力。
而晶体智力，就是我们每个人在实践中，通过积累经验而获得的一种认知能力，例如一些我们熟知的技能，语言表达、判断思考和知识运用等能力，后天的学习就可以让这些技能获得提高。
换言之，即便一些人先天的思维反应不是很高，别人思考问题用一分钟时间，他们可能用十五分钟，但经过后天的锻炼，一样可以获得深度思考的能力，把问题解决掉，而不是无法思考问题。
这就是晶体智力对于我们的启发。而提高我们晶体智力的一个方式，就是升级我们的认知思维。
什么是认知呢？
认知就是人类认识事物的过程，对外界事物进行信息加工的过程。
我们的大脑，每天都会接收到成千上万的信息，怎么处理这些信息，会影响到我们的认知思维，最终决定我们的思考能力。
而认知的层次，分为低级认知和高级认知两种能力。
低级 ，认知能力：
识记，即我们认识并能记住的东西，如公式；
理解，我们明白且了解识记的内容，如懂得1+1=2这个公式代表什么。
应用，能够用掌握的内容去解决问题，如可以解决2+2=？这个问题。
高级，认知能力：
分析，就是把一些凌乱的知识点进行归纳总结，找到关联点，建立框架。
评判，是一种独立思考能力，有意识思考内容合理和不合理的地方，得出自己观点。
创造，最高层次的思维能力，组合已有的东西，从而获得一种新的东西。
想提升我们的认知思维，我们就要从低级认知能力做起，然后慢慢发展到高级认知能力，这也是晶体智力的塑造模式。
当我们运用深度思维解决问题的时候，不是说想要解决就能够解决，我们需要通过学习、积累，拔高我们的晶体智力，从构建低级认知能力做起，然后才能够上升到高级认知能力，最终用更好的方法去解决问题。
举个简单的例子。
相信大家应该都有玩过或听过《马里奥兄弟》这个任天堂出品的游戏。这个游戏玩起来很简单，不外乎是跳、跑、蹲这些操作。但想要玩的好，可就不是一件容易的事情了。
那怎么才能解决“把这个游戏玩好”这个问题呢？
刚开始你对这个游戏不认知，玩游戏时你的角色会“死”很多遍，没关系，这是建立认知的过程。
首先你要识记，跳是怎么跳，如何避免跳进“坑”里；跑是怎么跑，如何避免打滑而碰到敌人等等。
有了相关的操作经验后，然后你才慢慢理解到，这个游戏是怎么样一个玩法，你心里开始有谱了。
最后，你就运用你学到的游戏中的这些技能，正式开始进行游戏。至此，你对这个游戏的低级认知能力，就构建完成。
也许你是“手残党”，没有别人上手那么快，玩得那么好（这是流体智力的影响），但只要你不断练习，也可以运用晶体智力，让自己更好适应去玩这个游戏。
当然，构建出低级认知能力，并不足以让你通关整个游戏。当你遇到游戏中的一些具体难题时，真正发挥作用帮助你通关的，却是你的高级认知能力。
现在来到解决问题的第三步，也就是寻求改进对策和解决方案了，这是涉及到高级认知思维的能力运用。
继续用《马里奥兄弟》这个游戏做例子。
当你运用在游戏中学到的技能去进行游戏，却在某些地方还是“卡关”时，这时你应该要停下来思考，继续运用深度思维模式，分析问题到底出在哪里，然后去改进，获得新的行动方案。
怎么分析呢？
现在我们具备了低级认知的能力，对这个游戏有了一个大概的认知，那么我们就可以根据自己在游戏中多次“死亡”的经验，来进行反思和改进了。
譬如下图，你想收集左边怪兽上方那个星星金币，但之前你每次都被它们扔的铁球砸死，卡关了，怎么办呢？
这时你就需要运用到高级认知思维中的“分析”，对游戏中这些怪物的行为和自己的操作，进行归纳和总结。
你发现，这两个怪物都有固定的做法，不会移动，而且它们扔的铁球，也只会按照固定的路线抛下来。而且最重要的是，你还可以“杀死”这两只怪物。
有了这种分析，你就可以通过批判性思维，纠正自己之前的做法：之前你都是硬碰硬地去收集星星金币，现在你可以先“杀死”它们，再去收集星星金币。
有了这种分析和观点，你现在是不是可以调整走法，创造出自己的一个通关方式，就是先避开铁球跑到怪物低下，“顶死”它们，然后再慢慢跳上平台拿金币呢？
至此，你就运用到你的高级认知思维，去解决到“卡关”这个问题了。从这个简单的例子，你可以延伸出去做其他事情，都是同样的道理而已。
那怎么提高自己这种认知能力，有效帮助自己解决各种问题呢？想提高我们自己认知能力，要满足四个条件：
1，见微知著的能力；
即通过细小的变化，就能够发现更大的问题。
2，抽象思维能力；
指的是人类对于概念的处理能力，可以把复杂的问题，浓缩成一个个较为简单的问题。
3，逻辑思维能力；
从一些已知的判断推导出新的判断的思考能力，在我们解决问题时，起到重要的作用。
4，有效的知识储备；
没有人天生就通晓一切。积累有效的知识，可以不断延伸我们的知识边界，从而更容易解决相关的问题。毕竟你没有积累玩游戏的相关知识，让你去玩，你也不会玩。
当你的认知能力提升了，你解决问题的能力，自然就会获得提升。
运用深度思考，你就可以通过表面问题而了解到事实的全貌，挖掘相关因素，做到准确的分析，把握问题核心，这样最终才有可能彻底解决到问题。
这就是我们需要掌握的思考能力之一。
为什么有的孩子思维总是流于表面？家长该如何以立体思维为目标来培养孩子？
有的孩子思维总是流于表面，可能是孩子缺乏知识的积累，也有可能孩子眼界不够开阔，或者家长没有教到孩子正确的思维方式。想要培养孩子立体思维，那么就要从多方面进行下手。
知识的积累和眼界的开阔是前提，只有在这样的前提之下才能够孩子有更深度的思考能力.如果孩子没有丰富的知识作为根基，那么他很难有发散性思维。如果孩子眼界不够，接触的事物和信息比较少，在思考的时候就不会想到关联的事物，这就导致他们的思维总是流于表面。从这两方面下手，先对孩子的知识有一定的积累。带孩子多去见识，多了解一定的事物，眼界不一定要带孩子外出游玩，也可以从书本得到相应的知识是信息。
在日常生活中，父母可以对孩子多加引导，让孩子从多个角度去观察同一件事。让孩子扩散他们的发散思维，同一件事物他们还能够想到什么关联的事物，不要让孩子总是往一个方向想，应该从多方面进行考虑，就会养成从多方面考虑问题的习惯。孩子考虑到的每一个点再进行深入的探讨，这样的深度探讨可以让孩子更印象深刻，同时明白哪一些点是正确的，哪些是不正确的。
家长在引导的时候一定要注意个问题，这里是用引导而不是告知，意思就是不能把答案直接告诉孩子，应该让孩子主动的去思考。只要孩子肯动脑去思考，才会有进步。 孩子的思维培养要从小开始，只有养成这种习惯才能够不断的检验和验证，能够更加深层次的对问题进行理解。同时也需要一个尝试错误的过程，在尝试错的过程中比成功的过程能够学到的更多的东西。
