怎样掌握初中数学最短路径问题的知识点?
最短路径问题
两点的所有连线中，线段最短
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．
两点的所有连线中，线段最短
如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)
如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．
两点之间线段最短
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运用轴对称解决距离之差最大问题
如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．
如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.
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国考行测：立体几何的立体表面？
几何问题在近几年的国家公务员考试中频频出现，不论是在公务员考试的行测中，还是事业单位联考的职业能力测验中，经常能看到几何问题的身影，尤其是在近几年的国考中，几何问题更是热门考点。几何问题主要测查我们对于平面几何、立体几何的理解以及对相关公式的掌握，其实这些知识在小学和中学就已经是我们所接触学习过的了。所以几何问题的备考，更多地是复习和回顾，做题过程也是公式和方法的应用过程。
今天中公教育辅导专家主要来说一下几何问题中的立体表面最短路径问题。立体几何相比较平面几何，不仅需要我们对计算表面积和体积的公式要熟悉，还需要我们有一定的空间想象能力，通过不断练习对图形的把握感要逐渐地强化。立体表面的最短路径问题，就是需要对原来的立体图形作一定地变形，把需要空间想象的立体几何转化为更为清晰直观的平面几何。接下来我们就通过两个例子看一下如何进行转化。
例如：一只蚂蚁在棱长为1的正方体的顶点A沿表面爬行到顶点B，那么爬行的最短距离是多少?
我们发现，要想爬行距离最短，尽量朝着B走直线，但在一个立体的表面，这个直线路径该怎么画出来就需要很强的空间想象能力了，更不要说还要计算出来结果。但如果能够把立体几何转化为一个平面几何，题目就变得简单明了了。我们可以把右面的面翻到与正前方的面平齐(或把上方的面翻到与正前方的面平齐)。如下图所示：
通过简单的转换，就可以绕过空间想象，把立体图形转变为简单易解的平面图形，题目也就迎刃而解了。希望通过上面的两个例子，能给同学们一点启发，把握好此类题目的解题方法，通过适当练习，对方法以及几何所涉及的公式都进行练习和掌握，攻克几何问题。
2022年省考行测立体几何中“蚂蚁”与“壁虎”所引发的最短路径问题
行测考试中，几何问题是考查频次较高的一个知识点，考查范围可能是平面几何或者立体几何。但在立体几何中，有这样一类题型，就是让一只“蚂蚁”或者“壁虎”从几何体中的某一个点到另外一个点，求蚂蚁爬行的最短距离。立体几何实际上考查的是考生的空间想象能力，看考生是否能将数形结合的思想运用于其中，解决这一类题型最有效的办法是将立体几何展开构成一个平面图形，然后再进行分析计算。那么，问题来了。请各位小伙伴思考一个问题，是否所有的路径最短问题都是拆立体几何为平面图形吗?
【例1】一只蚂蚁从右图的正方体顶点沿正方体的表面爬到正方体顶点，设正方体边长为a，问该蚂蚁爬过的最短路程为：
A.aB.a
C.()aD.()a
【答案】B
【解析】如下图所示，把题干中的立体几何正面展开构成平面几何，则蚂蚁所爬行的路径为AC，因“两点之间直线距离最短”，为此只需要求出AC的长度即可。因为直角三角形，为此AC==
因此，选择B答案。
【例2】长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体上，有一个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到获取食物，其路程最小值是多少cm?
A.13B.
C.D.17
【答案】B
【解析】如下图所示，仍然将长方体展开为平面图形，根据题干所求为的长度，三角形为正方形，根据勾股定理即可求出，即=
因此，选择B答案。
经过以上两个例子，不难看出，求几何体中路径最短问题，都是将立体几何拆成平面几何，然后采用勾股定理即可求出。那么，问题又来了。是不是所有的立体几何拆成平面几何以后，它所经过的行径就是最短距离呢?请接着往下看。
【例3】一个不计厚度的圆柱型无盖透明塑料桶，桶高2.5分米，底面周长为24分米，AB为底面直径。在塑料桶内壁桶底的B处有一只蚊子，此时，一只壁虎正好在塑料桶外壁的A处，则壁虎从外壁A处爬到内壁B处吃到蚊子所爬过的最短路径长约为：
A.10.00分米B.12.25分米
C.12.64分米D.13.00分米
【答案】C
【解析】壁虎需要从外壁爬到内壁去吃蚊子，为此最短路径问题有两种情况需要考虑。
(1)情况一：圆柱侧面不展开，根据两点之间线段最短，壁虎可以先竖直走上去，然后竖直走下去，再走直径(桶是中空的)，此时，走过的距离为2.5+2.5+直径(d)，根据πd=24，取π≈3.14，解得d≈7.64，此时走过的最短距离为2.5+2.5+7.64=12.64(分米)。
(2)情况二：圆柱侧面展开为矩形，两点之间线段最短，我们需要将A、B两点放在同一个平面上连线即可，壁虎所经过的行径为AC+CB，现作BD的延长线DP，使得DP+BD，连接CP，此时，即CP=CB，要使得AC+CP最短，只需AC+CP最短即可。当A、C、P三点共线时距离最短，即三点都在同一直线上。为此在直角三角形ABP中，根据勾股定理，AB=12，，即AP=13分米。结合这两种情况，第一种情况距离最短。
因此，选择C选项。
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